Qtをインストールするときには、あらかじめC/C++コンパイラ（gcc/g++やclang）をインストールしておくとよいでしょう。
Qtオープンソース版は下記のサイトからダウンロードできます。
https://www.qt.io/download-qt-installer-oss
このサイトからLinux用のインストーラー（たとえばqt-online-installer-linux-x64-4.8.1.run）をダウンロードして、ダウンロードしたディレクトリ（たとえば「ダウンロード」）に移動して、 次のようにしてファイルの属性を変更して実行できるようにしてから実行します。
$ sudo chmod u+x qt-online-installer-linux-x64-4.8.1.run
$ ./qt-online-installer-linux-x64-4.8.1.run
プログラムを実行すると、インストーラーが起動します。
インストールするために、メールアドレスとパスワードを指定して、Qtアカウントを作成します（無料）。
すでにアカウントがある場合は、アカウントとパスワードを入力して[次へ]をクリックします。
ライセンスに関する情報が表示されるので、ふたつのチェックボックスをチェックします（個人で使う場合）。
[次へ]をクリックします。「ようこそ」ダイアログボックスが表示されます。
次の「XCB cursor...」というダイアログボックスが表示された場合は、別の端末を開いて、以下のコマンドを実行してインストールします。
$ sudo apt install libxcb-cursor0 libxcb-cursor-dev
[次へ]をクリックします。Qtの開発に関するダイアログボックスが表示されるので、いずれかをチェックします。
[次へ]をクリックします。インストール場所とインストールするコンポーネントを選択するダイアログボックスが表示されます。
なお、インストール後に、Qt Maintenance Toolでコンポーネントを追加インストールすることができます。
また、「カスタムインストール」を選択してインストールするコンポーネントを選択することもできます。
[次へ]をクリックします。使用許諾契約が表示されるので、チェックして[次へ]をクリックします。
インストールするサイズを示すダイアログボックスが表示されるので、確認してから[インストール]をクリックします。
ダウンロードとインストールが開始されます。
インストールが完了したら、新しいプロジェクトを作成して、ウィンドウ（フォーム）をデザインしてコードを追加することで アプリを作成できます。
Linux系OSの場合、特定のバージョンでプロジェクトを正常に生成できないことがあります。 そのような場合には、次のコマンドでqtcreatorをインストールすることで問題が解決することがあります。
$sudo apt install qtcreator